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Title in Portuguese: Construções dos números reais voltadas para os professores da rede básica de ensino
Title: Construction of real numbers facing teachers of basic network of education
Author: Ribeiro, Fernando Araújo
Advisor(s): Melo, Marcelo Ferreira de
Keywords: Números reais
Corpo ordenado completo
Sequências de Cauchy
Matemática
Issue Date: 2015
Citation: RIBEIRO, Fernando Araújo. Construções dos números reais voltadas para os professores da rede básica de ensino. 2015. 66 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015.
Abstract in Portuguese: Este trabalho tem como objetivo mostrar que o conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo e que, a menos de um isomorfismo, é único. Este trabalho é voltado para todos aqueles que tenham interesse em Matemática, sobretudo, para os professores de Matemática do ensino médio que utilizam as propriedades do conjunto dos números reais sem conhecer a teoria matemática envolvida. Para tanto, é necessário caracterizar o conjunto dos reais a fim de provar suas propriedades. Aqui, utilizamos duas construções, a saber: os reais via sequências de Cauchy devido a Cantor e os reais via Cortes de Dedekind. A partir dessas caracterizações, conseguimos construir um corpo K munido das operações de soma e multiplicação onde mostramos que ele cumpre as condições da definição de corpo. Definida uma relação de ordem em K, mostramos que tal corpo é ordenado e, além disso, conseguimos mostrar que todo subconjunto de K admite supremo, o que quer dizer que tal corpo é completo. Finalmente, mostramos que qualquer outro corpo ordenado completo que possa, por ventura, existir é uma mera caracterização de ℝ, o que quer dizer que ℝ é único, a menos dessas possíveis outras caracterizações. Tal caracterização será chamada de isomorfismo que é uma função bijetora de ℝ para K.
Abstract: This work aims to show that the set of real numbers is a complete ordered field that, within an isomorphism, is unique. This work is aimed at all those who are interested in mathematics, especially for that high school math teacher who uses the real numbers of the set of properties without knowing the mathematical theory involved. Therefore, it is necessary to characterize the set of the real in order to prove their properties. Here, we use two buildings, namely: the real via Cauchy sequences due to Cantor and the real via Dedekind cuts. From these characterizations, we can build a field K equipped with the addition and multiplication operations which show that it meets the definition of field conditions. Set an order relation in K, we show that such a body is ordered and in addition, we show that every subset of K admits supreme, which means that such a field is complete. Finally, we show that any complete ordered field that can, perchance appear is a mere characterization of ℝ, which means that ℝ is unique, unless these possible other characterizations. This characterization will be called isomorphism which is a function bijetora of ℝ to K.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/12998
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