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Title in Portuguese: Desigualdades de Hitchin-Thorpe e Miyaoka-Yau
Title: Inequalities of Hitchin-Thorpe and Miyaoka-Yau
Author: Rodrigues, Diego de Sousa
Advisor(s): Ribeiro Júnior, Ernani de Sousa
Keywords: Geometria diferencial
Teorema de Gauss-Bonnet
Variedades riemanianas
Issue Date: 2014
Citation: RODRIGUES, Diego de Sousa. Desigualdades de Hitchin-Thorpe e Miyaoka-Yau. 2014. 55 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2014.
Abstract in Portuguese: O objetivo desse trabalho é fornecer uma demonstraçao para as desigualdades de Hitchin-Thorpe e Miyaoka-Yau. Inicialmente forneceremos uma decomposição ortogonal para o tensor curvatura, em seguida mostraremos como o operador curvatura pode ser definido a partir do tensor curvatura. Com o intuito de cumprir o objetivo proposto, iremos provar o Teorema de Gauss-Bonnet em dimensão 4, para isso utilizaremos um resultado devido a Allendoerfer e forneceremos uma fórmula integral para o cálculo da característica de Euler de uma variedade Riemanniana de dimensão 4. Além disso, definiremos o conceito de assinatura em uma variedade Riemanniana e exibiremos uma fórmula integral para a obtenção deste objeto, para isso utilizaremos o Teorema de Assinatura de Hirzebruch em dimensão 4 e pouco da Teoria de Chern-Weil que nos fornece uma conexão entre a topologia algébrica e a geometria diferencial. Por fim, mostraremos como as fórmulas que foram obtidas podem ser utilizadas na demonstraçao das desigualdades citadas inicialmente.
Abstract: The aim of this work is to present a proof of the Hitchin-Thorpe and Miyaoka-Yau inequalities. First we provide an orthogonal decomposition for the curvature tensor, and then we show how the curvature operator can be defined from the curvature tensor. In order to fulfill the proposed objective, we prove the Gauss-Bonnet Theorem in dimension 4, to do this we use a result due Allendoerfer and we present an integral formula for the Euler characteristic computation on a Riemannian 4-manifold. Furthermore, we define the concept of signature in a Riemannian manifold e we exhibit an integral formula for the achievement of this object, for this we use the Hirzebruch Signature Theorem in di- mension 4 and the Chern-Weil Theory which provides us a connection between algebraic topology and differential geometry. Finally, we show how the earlier formulas can be used in the demonstration of the initial inequalities.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/13243
metadata.dc.type: Dissertação
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