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Title in Portuguese: Estimativas do primeiro autovalor do laplaciano e caracterização de hipersuperfícies isoparamétricas em Sn+1
Title: Estimates of the first laplacian eigenvalue and characterization of isoparametric hypersurfaces in Sn + 1
Author: Barbosa, José Nelson Bastos
Advisor(s): Barros, Abdênago Alves de
Keywords: Geometria Diferencial
Differential Geometry
Issue Date: 19-Apr-2002
Citation: BARBOSA, José Nelson Bastos. Estimativas do primeiro autovalor do laplaciano e caracterização de hipersuperfícies isoparamétricas em Sn+1, 2002. 39 f. Tese (Doutorado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2002
Abstract in Portuguese: Este trabalho consiste de três capítulos abordando diferentes assuntos sobre hipersuperfícies compactas da esfera Euclidiana unitária Sn+1. No primeiro capítulo, provaremos que uma hipersuperfície compacta de Sn+l com curvatura de Ricci não negativa e grupo fundamental infinito é isométrico a um toro de curvatura média constante. Em seguida, trataremos de hipersuperfícies de Sn+l com duas curvaturas principais distintas e também abordaremos um caso em que uma curvatura principal tem o sinal diferente das demais. No segundo capítulo, aplicaremos a fórmula da expansão do núcleo do calor de Minakshisundaram-Pleijel para caracterizar hipersuperfícies compactas de Sn+1 através dos espectros do Laplaciano das p-formas, para alguns valores de p. Finalmente, no terceiro capítulo, usaremos a fórmula de Bochner-Lichnerowicz para obter estimativas da norma da segunda forma fundamental de uma hipersuperfície mínima compacta de Sn+1 em função do primeiro autovalor do Laplaciano e da dimensão de Mn, e, usando a fórmula de Reilly, obtemos uma estimativa para o primeiro autovalor do Laplaciano de uma hipersuperfície fechada e mergulhada de uma variedade Riemanniana compacta, cuja curvatura de Ricci é limitada inferiormente por uma constante positiva.
Abstract: This work consists of three chapters addressing different subjects about compact hypersurfaces of the unit Euclidean sphere Sn + 1. In the first chapter, we will prove that a compact hypersurface of Sn + 1 with non-negative Ricci curvature and infinite fundamental group is isometric to a torus of constant mean curvature. Next, we will consider the surface hypersurfaces of Sn + l with two different main curvatures and also approach a case in which one main curvature has the signal different from the others. In the second chapter, we will apply the Minakshisundaram-Pleijel heat core expansion formula to characterize compact hypersurfaces of Sn + 1 through the Laplacian spectra of the p-forms, for some p values. Finally, in the third chapter, we will use the Bochner-Lichnerowicz formula to obtain estimates of the norm of the second fundamental form of a compact minimal hypersurface of Sn + 1 as a function of first eigenvalue of the Laplacian and the dimension of Mn, and, using formula of Reilly, we obtain an estimate for the first eigenvalue of the Laplacian of a closed and dipped hypersurface of a compact Riemannian manifold whose Ricci curvature is bounded lower by a positive constant.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/31806
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