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Title in Portuguese: Aplicação da geometria diferencial à teoria da informação
Title: Application of differential geometry to information theory
Author: Araújo, Marcos Antonio Ferreira de
Advisor(s): Pessoa, Franquiberto dos Santos
Keywords: Geometria diferencial
Differential geometry
Issue Date: 28-Aug-1994
Citation: ARAÚJO, Marcos Antonio Ferreira de. Aplicação da geometria diferencial à teoria da informação. 1994. 47 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 1994.
Abstract in Portuguese: O trabalho é baseado em um trabalho devido a Jacob Burbea e C. Radhakrishna Rao apresentado na referência. Um dos objetivos do trabalho é a metrização de espaços de probabilidade através da introdução de uma métrica diferencial quadrática no espaço de parâmetros das distribuições de probabilidade. Para esse propósito, um funcional fi-entalpia é definido sobre o espaço de probabilidade e em seguida seu Hessiano ao longo de uma direção do espaço tangente ao espaço de parâmetros é considerado como uma métrica no sentido da Geometria Riemanniana. A distância entre duas distribuições de probabilidade é considerada como sendo a distância geodésica entre seus parâmetros induzida pela métrica. É importante a definição de uma tal distância pois ao estiparmos parâmetros de uma distribuição de probabilidade com forma conhecida estamos na verdade uma curva num espaço de funções densidade e a precisão na determinação desta função requer a existência de uma medida num tal espaço. Foi o próprio Rao que em 1945 notou a importância do enfoque Geométrico Diferencial. Ele introduziu a métrica Riemanniana na variedade (diferenciável) de um modelo estatístico e calculou a distância geodésica entre duas distribuições para vários modelos estatísticos. Essas ideias causaram um enorme impacto na comunidade matemática e estatística. No entanto, devido principalmente às dificuldade matemáticas nessa teoria, ela permaneceu inerte por algum tempo. Recentemente propriedades da variedade Riemanniana de um modelo estatístico foram estudadas por um grande número de pesquisadores independentemente. Mesmo assim, as implicações estatísticas de muitos conceitos nessa teoria geométrica, ainda não são conhecidas. Por exemplo, o conceito (básico em Geometria Riemanniana) de curvatura de um modelo ainda é desprovido de significado estatístico. Nosso trabalho está organizado da seguinte maneira: No primeiro capítulo, apresentamos conceitos necessários para a compreensaõ dos assuntos aqui estudados. isto é feito na tentativa de tornar o trabalho auto-suficiente. No segundo capítulo, apresentamos o funcional fi-entropia e seu hessiano. Em seguida definimos a métrica diferencial da fi-entropia obtida a partir do hessiano. O capítulo é finalizado com dois exemplos onde são calculadas a distâncias entre dois elementos nos seus respectivos espaços. Finalmente, no terceiro capítulo é feito um estudo das medidas de divergência J, K e L com o objetivo único de utilizar seus respectivos hessianos para se obter a métrica da fi-entropia.
Abstract: The work is based on a work due to Jacob Burbea and C. Radhakrishna Rao presented in the reference. One of the objectives of the work is the measurement of probability spaces by introducing a quadratic differential metric into the parameter space of probability distributions. For this purpose, a fi-enthalpy functional is defined on the probability space and then its Hessian along a direction of the space tangent to the space of parameters is considered as a metric in the sense of Riemannian Geometry. The distance between two probability distributions is considered to be the geodetic distance between its parameters induced by the metric. It is important to define such a distance because in drawing parameters from a probability distribution with known form we are actually a curve in a function space density and the precision in determining this function requires the existence of a measure in such a space. It was Rao himself who in 1945 noted the importance of the Differential Geometric approach. He introduced the Riemannian metric into the (differentiable) variety of a statistical model and calculated the geodesic distance between two distributions for various statistical models. These ideas have made a huge impact on the mathematical and statistical community. However, due mainly to the mathematical difficulty in this theory, it remained inert for some time. Recently properties of the Riemannian variety of a statistical model were studied by a large number of researchers independently. Even so, the statistical implications of many concepts in this geometric theory are not yet known. For example, the concept (basic in Riemannian Geometry) of curvature of a model is still devoid of statistical significance. Our work is organized as follows: In the first chapter, we present concepts necessary for the understanding of the subjects studied here. this is done in an attempt to make the work self-sufficient. In the second chapter, we present the functional fi-entropy and its hessian. Then we define the differential metric of the fi-entropy obtained from the Hessian. The chapter is finished with two examples where they are calculated at distances between two elements in their respective spaces. Finally, in the third chapter a study of the divergence measures J, K and L is made with the sole purpose of using their respective hessians to obtain the fi-entropy metric.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/32305
metadata.dc.type: Dissertação
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