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Tipo: Tese
Título: Avanços em variedades estatísticas generalizadas: uma extensão para arcos exponencial e mistura
Autor(es): Andrade, Luiza Helena Félix de
Orientador: Cavalcante, Charles Casimiro
Coorientador: Vigelis, Rui Facundo
Palavras-chave: Teleinformática;Estatistica - Variedades;Probabilidades;Exponential families;Exponential arcs;Mixture arcs;Generalized statistical manifolds
Data do documento: 2018
Citação: ANDRADE, L. H. F. de. Avanços em variedades estatísticas generalizadas: uma extensão para arcos exponencial e mistura. 2018. 81 f. Tese (Doutorado em Engenharia de Teleinformática)–Centro de Tecnologia, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2018.
Resumo: A coleção de todas as densidades de probabilidade estritamente positivas P_\mu foi dotada com uma estrutura de C^\infty-variedade de Banach. Essa estrutura é baseada em \varphi-famílias de distribuições de probabilidade. Conectar por arcos duas distribuções de probabilidade ou seja, encontrar uma curva em que os extremos sejam duas distribuições e que esta curva esteja totalmente contida em P_\mu, era uma questão em aberto. Nesta Tese, arcos em variedades estatísticas generalizadas são investigados. Os arcos exponencial e mistura, já bem conhecidos em Geometria da Informação, podem ser vistos como um caso especial desses arcos. Nós garantimos que o arco mistura generalizado está bem definido. Encontramos condições necessárias e suficientes para quaisquer duas distribuições de probabilidade serem conectadas por um arco exponencial generalizado, um \varphi-arco. Provamos ainda que, a partir de uma exponencial deformada e de duas distribuições de probabilidade fixadas, uma generalização da divergência de Rényi existe, sobre algumas condições essa generalização da divergência de Rényi é relacionada à \varphi-divergência, que pode ser vista como uma generalização da divergência de Kullback-Leibler. A função de normalização, em uma \varphi-família, é o análogo da função geradora de cumulantes. Foi ainda estudado o comportamento da função de normalização próximo ao bordo do domínio da \varphi-família, o que é um resultado necessário ao desenvolvimento dos arcos mistura generalizados, uma vez que esses arcos são dados a partir dos funcionais que pertencem ao subdiferencial da função de normalização. Foram encontradas condições para que os arcos generalizados possam ser tomadas sem que, necessariamente, as distribuições de probabilidade conectadas sejam os pontos extremos desses arcos, ou seja, os arcos são abertos. Um outro resultado importante desse trabalho foi provar que o conjunto de todas as distribuições conectadas, por um \varphi-arco aberto, a uma distribuição de probabilidade fixada, é a própria \varphi-família de distribuições de probabilidade. Garante-se ainda que conectar duas distribuições de probabilidade por arcos abertos é uma relação de equivalência para ambos os arcos generalizados.
Abstract: The collection of all strictly positive probability densities, which are equivalent to a mea- sure μ , P μ , was endowed with a C ∞ -Banach manifold structure. This structure is based on φ -families of probability distributions. To connect two probability distributions, that is, to find a curve where the ends are two distributions and that this curve is totally con- tained in P μ , was an open question for generalized statistical manifold. In this thesis, arcs in the generalized statistical manifold are investigated. The exponential arcs and misture, already well-known in Information Geometry, can be seen as a special case of these arcs. We guarantee that the generalized misture arc is well defined. We found necessary and sufficient conditions for any two probability distributions to be connected by a generalized exponential arc, a φ -arco. We also prove that, from a deformed exponential and two fixed probability distributions, a generalization of the Rényi divergence exists, on some con- ditions this generalization of the Rényi divergence is related to φ -divergence, which can be seen as a generalization of the Kullback-Leibler divergence. The normalizing function, in a φ -family, is the analog of the cumulating generating function. We also studied the behavior of the normalization function near the boundary of the φ -family domain, which is a necessary result to the development of the generalized misture arcs, since these arcs are given from the functional ones that belong to the subdifferential of the normalizing function. Conditions were found so that generalized arcs can be taken without necessarily connecting the probability distributions to the extreme points of these arcs, that is, the arcs are opened. Another important result of this work has been to prove that the set of all the distributions connected by an open φ -arc, to a fixed probability distribution, is the φ -family of probability distributions. It is further ensured that connecting two probability distributions by open arcs is an equivalence relation for both generalized arcs.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/34202
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