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Title in Portuguese: Relações de incerteza entrópicas de sistemas hamiltonianos dependentes do tempo
Author: Lima Júnior, Vanderley Aguiar de
Advisor(s): Silva, Ilde Guedes da
Keywords: Método de Lewis e Riesenfeld
Armadilha de Penning
Informação de Fisher
Entropia de Shannon
Issue Date: 2018
Citation: Lima Júnior, V. A. Relações de incerteza entrópicas de sistemas hamiltonianos dependentes do tempo. 2019. 65 f. 134 f. Tese (Doutorado em Física) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2018.
Abstract in Portuguese: Neste trabalho, usando o método de invariantes de Lewis e Riesenfeld, obtemos as funções de onda exatas para dois sistemas dependentes do tempo: (i) uma partícula carregada sem spin na presença de um campo magnético dependente do tempo 𝐵 (𝑡), e (ii) uma partícula carregada sem spin em uma armadilha de Penning dependente do tempo. Considerando as soluções quânticas nos estados de mais baixa energia, conseguimos obter expressões para as informações de Fisher (Fᵣ e Fp), entropias de Shannon (Sᵣ e Sp) e incertezas em termos de uma função ρ (e ρz no sistema (ii)), que deve ser uma solução real da equação de Milne-Pinney. No sistema (i) analisamos três configurações diferentes de campos magnéticos variáveis no tempo. Observamos que a desigualdade FᵣFᵣ ≤ 16 é válida para todos os sistemas considerados. Também observamos fenômenos de compressão nos espaços dos momentos e/ou posições com o aumento do tempo. No sistema (ii), obtemos as expressões analíticas para as incertezas em termos de duas funções que satisfazem equações tipo Milne-Pinney. Analisamos os casos estáticos e dependentes do tempo. Para o primeiro, com 𝜝(t) = 𝐵₀𝜥 e 𝚅(t) = 𝚅₀, observamos que as relações de incerteza de Heisenberg e Robertson-Schrödinger são satisfeitas e o comportamento das incertezas ∆x, y e ∆pₓ, py quando 𝐵₀ muda indicam a ocorrência de fenômenos de compressão. Para o segundo, com 𝜝(t) = (𝜝₀² + B' cos² ( vt ) )¹′² 𝜥 e 𝚅(t) = 𝚅₀ + 𝚅' cos² (vt), observamos que ∆x,y oscilam no tempo também indicando a existência de estados comprimidos. Relações entre as incertezas, entropias de Shannon e informações de Fisher foram obtidas. Observamos para ambos os casos que a entropia de Shannon para a posição, Sr e para o momento, Sp, satisfazem a relação Sr + Sp ≥ 3 (1 + 𝒍nπ), enquanto que o produto dos comprimentos de Fisher 𝜹𝒓𝜹𝒑 exibe um limite inferior ao produto de incertezas ∆𝒓∆p.
Abstract: In this work by using the Lewis and Riesenfeld invariant method we obtain the exact wave functions for two time-dependent systems: (i) a spinless charged particle in the presence of a time-dependent magnetic field , and (ii) a spinless charged particle in a time-dependent Penning trap. By considering the quantum solutions in the lowest-lying states, we were able to obtain the expressions of Fisher infrmation (Fᵣ and Fp), Shannon entropies (Sᵣ and Sp) and uncertainties in terms of a c-number quantity, ρ (and ρz in the system (ii)), which must be a real solution of the Milne–Pinney equation. In the system (i) we analyze three different configurations of time-varying magnetic fields. We observe that the inequality FᵣFᵣ ≤ 16 holds for the systems considered. We also observed squeezing phenomenon in momentum or/and coordinate spaces with increasing time. In the system (ii) we obtain the analytical expressions for the uncertainties in terms of two c-number functions satisfying a Milne-Pinney-like equation. We analyze the static and the time-dependent cases. For the former, where 𝜝(t) = 𝐵₀𝜥 and 𝚅(t) = 𝚅₀, we observe that the Heisenberg and Robertson-Schrödinger uncertainty relations are fulfilled and the behavior of the uncertainties ∆x, y e ∆pₓ, py and when 𝐵₀ changes indicates the occurrence of a squeezing phenomenon. For the later, where 𝜝(t) = (𝜝₀² + B' cos² ( vt ) )¹′² 𝜥 and 𝚅(t) = 𝚅₀ + 𝚅' cos² (vt), we observe that ∆x,y oscillate in time exhibiting a squeezing phenomenon. Relations among the uncertainties, Shannon entropies and Fisher lengths were stablished. We observe for both cases that the Shannon entropy in position, Sr, and in momentum,Sp, satisfy the relation Sr + Sp ≥ 3 (1 + 𝒍nπ), while the product of Fisher lengths 𝜹𝒓𝜹𝒑 exhibits a lower bound than the product of uncertainties ∆𝒓∆p.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/40004
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