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Title in Portuguese: Sharp and improved regularity estimates to fully nonlinear equations and free boundary problems.
Title: Sharp and improved regularity estimates to fully nonlinear equations and free boundary problems.
Author: Silva, João Vitor da
Advisor(s): Teixeira, Eduardo Vasconcelos Oliveira
Keywords: Fully nonlinear elliptic equations
Fully nonlinear parabolic equations
Sharp moduli of continuity
Flat solutions
Smoothness properties of solutions
One-phase problems
Regularity up to the boundary
Singularly perturbed equations
Global gradient estimates
Equações elípticas totalmente não-lineares
Equações parabólicas totalmente não-lineares
Módulo de continuidade preciso
Soluções flat
Propriedades de suavidade de soluções
Problemas de uma-fase
Regularidade até o bordo
Equações singularmente perturbadas
Estimativas globais do gradiente
Issue Date: 23-Mar-2015
Citation: SILVA, João Vitor da. Sharp and improved regularity estimates to fully nonlinear equations and free boundary problems. 2015. 105 f. Tese (Doutorado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015.
Abstract in Portuguese: Esta tese componhe-se dos seguintes 3 manuscritos que tratam de estimativas de regularidade para equações parabólicas totalmente não-lineares e problemas elípticos de uma-fase singularmente perturbados. Sharp regularity estimates for second order fully nonlinear parabolic equations - Trabalho em conjunto com Eduardo V. Teixeira. O principal propósito do segundo capítulo é provar estimativas de regularidade precisas para soluções (no sentido da viscosidadde) de equações parabólicas totalmente não-lineares da seguinte forma: @u @t F(D2u; Du; x; t) = f(x; t) in Q 1 = B 1 ( 1; 0]; (Eq1) onde F : Sym(n) R n Q 1 ! R é um operador uniformemente elíptico e f 2 L p;q (Q 1 ) (espaço de Lebesgue com normas mistas). Ressaltamos que a quantidade (n; p; q) :=np+2q determinará (precisamente) a qual regime de regularidade uma solução deverá pertencer. Resumidamente, quando 1 < (n; p; q) < 2 ϵ F provamos que soluções são Hölder contínuas (no sentido parabólico) para um expoente 0 < (n; p; q) < 1. O caso (n; p; q) = 1 representa uma situação limítrofe crítica a qual divide a teoria de regularidade. Neste cenário obtemos uma estimativa de regularidade (universal) do tipo Log-Lipschitz precisa. Quando 0 < (n; p; q) < 1, soluções são localmente da classe C 1+ ; 1+ 2 . Finalmente, no “caso limite”, isto é, (n; p; q) = 0, mostramos estimativas de regularidade C 1;Log-Lip desde que F seja convexo na componente das matrizes Hessianas, por exemplo. Schauder Type Estimates for “Flat” Viscosity Solutions to Non-convex Fully Nonlinear Parabolic Equations and Applications - Trabalho em conjunto com Disson S. dos Prazeres. Em um segundo momento (a saber, no terceiro capítulo), estabelecemos estimativas do tipo Schauder para soluções fl at (ou seja, com oscilação sufi cientemente pequena) para equações parabólicas totalmente não-lineares (não convexas) da seguinte forma: @u @t F(x; t; D2u) = f(x; t) in Q 1 (Eq2) desde que os coeficientes de F e o termo fonte f gozem de um módulo de continuidade do tipo Dini . Além disso, provamos um resultado de regularidade parcial, bem como um teorema do tipo Evans-Krylov para essa classe de problemas. Finalmente, para problemas com dados meramente contínuos, provamos que soluções fl at de( Eq2) são parabolicamente C 1;Log-Lip regulares.Regularity up to the boundary for fully nonlinear singularly perturbed elliptic equations - Trabalho em conjunto com Gleydson C. Ricarte. Posteriormente (para ser preciso, no capítulo 4), estamos interessados em estudar a regularidade até o bordo de problemas elípticos totalmente não-linearmente de uma-fase singularmente perturbados do seguinte tipo: F(x; Du"; D2u") = ϵ uϵ) in Ω R n (Eq3) onde " se comporta assintoticamente como a medida 0 de Dirac quando " vai para zero. Nesse contexto, estabelecemos cotas globais do gradiente (independentes do parâmetro ") para soluções no sentido da viscosidade de (Eq3), as quais nos permitem passar o limite e obter a regularidade ótima (estimativas Lipschitz) para o problema de fronteira livre associado.
Abstract: The thesis consists of the following three papers on regularity estimates for fully non-linear parabolic equations and one-phase singularly perturbed elliptic problems. Sharp regularity estimates for second order fully nonlinear parabolic equations - Joint work with Eduardo V. Teixeira. The purpose of the fi rst chapter is prove sharp regularity estimates for viscosity solutions to fully non-linear parabolic equations of the form @u@t F(D2u; Du; x; t) = f(x; t) in Q 1 = B 1 ( 1; 0]; (Eq1) where F is a uniformly elliptic operator and f 2 L p;q (Q 1 ). The quantity (n; p; q) :=np+2q determines which regularity regime a solution to (Eq1) belongs to. We prove that when 1 < (n; p; q) < 2 ϵ F , solutions are parabolic-Hölder continuous for a sharp, quantitative exponent 0 < (n; p; q) < 1. The case (n; p; q) = 1 is a critical borderline situation as it divides the regularity theory. In this scenario, we obtain a sharp universal Log-Lipschitz regularity estimate. When 0 < (n; p; q) < 1, solutions are locally of class C 1+ ;1+ 2 and in the limiting case (n; p; q) = 0, we show C 1;Log-Lip regularity estimates provided F is convex in the Hessian argument for example. Schauder Type Estimates for “Flat” Viscosity Solutions to Non-convex Fully Nonlinear Parabolic Equations and Applications - Joint work with Disson S. dos Prazeres. In a second moment we establish Schauder type estimates for fl at solutions to non-convex fully non-linear parabolic equations of the following form @u@t F(x; t; D2u) = f(x; t) in Q 1 (Eq2) provided the coeffi cientsof F and the source f are Dini continuous. Furthermore, we prove a partial regularity result, as well as a theorem of Evans-Krylov type. Finally, for problems with merely continuous data we prove that fl at solutions to( Eq2) are parabolic C 1;Log-Lip smooth. Regularity up to the boundary for fully nonlinear singularly perturbed elliptic equations - Joint work with Gleydson C. Ricarte. Posteriorly, we are interested in studying regularity up to the boundary for one-phasesingularly perturbed fully non-linear elliptic problems F(x; Du"; D2u") = ϵ (uϵ) in Ω R n (Eq3) where " behaves asymptotically as the Dirac measure 0 as " goes to zero. We shall establish global gradient bounds independent of the parameter " to viscosity solutions to (Eq3), which allow us to pass the limit and obtain optimal regularity for free boundary problem.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/41839
metadata.dc.type: Tese
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