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Title in Portuguese: Representação de inteiros por formas quadráticas binárias.
Title: Representation of integers by binary quadratic forms.
Author: Bezerra, Thedy Barbosa
Co-advisor(s): Muniz Neto, Antonio Caminha
Keywords: Formas quadráticas binárias
Teoria dos números
Álgebra abstrata
Issue Date: 2019
Citation: BEZERRA, Thedy Barbosa. Representação de inteiros por formas quadráticas binárias. 60 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2019.
Abstract in Portuguese: Este trabalho consiste em apresentar respostas às seguintes indagações: seja a forma quadrática binária ax2+bxy+cy2, de discriminante ∆=b2-4ac, em duas variáveis x e y, com a, b, c números inteiros dados, nem todos 0; para quais inteiros n existem inteiros x e y tais que n=ax2+bxy+cy2? Qual a caracterização dos inteiros positivos que podem ser escritos como soma de dois quadrados? Quais são os primos p>3 que podem ser representados pela forma 2x2+3y2 ou pela forma x2+6y2? Nesta dissertação, estudamos as teorias matemáticas que possibilitam a resolução dos questionamentos expostos acima. Nesse sentido, exibimos boa parte dos pré-requisitos imprescindíveis à apreciação dos resultados centrais que discutimos. Em seguida, discorremos sobre a representação de inteiros por formas quadráticas binárias, estabelecendo um critério útil, a partir do qual podemos determinar se um inteiro n é ou não representável por alguma forma quadrática, dado seu discriminante. Por fim, apresentamos respostas às duas últimas questões e tecemos nossas considerações relativas ao trabalho produzido, apontando para o que vai além da teoria desenvolvida aqui e reconhecendo a relevância das inter-relações entre áreas diferentes da Matemática.
Abstract: This work consists in presenting answers to the following questions: be the quadratic form ax2 + bxy + cy2, discriminant Δ = b2-4ac, in two variables x and y, with a, b, c integers given, not all 0; for which integers n are integers x and y such that n = ax2 + bxy + cy2? What is the characterization of positive integers that can be written as the sum of two squares? What are the primes p> 3 that can be represented by the form 2x2 + 3y2 or by the form x2 + 6y2? In this dissertation, we study the mathematical theories that allow the resolution of the questions discussed above. In this sense, we present a good part of the prerequisites essential to the appreciation of the central results that we have discussed. Then, we discuss the representation of integers by binary quadratic forms, establishing a useful criterion, from which we can determine if an integer n is or not representable by some quadratic form, given its discriminant. Finally, we present answers to the last two questions and we weave our considerations regarding the work produced, pointing to what goes beyond the theory developed here and recognizing the relevance of the interrelations between different areas of Mathematics.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/43206
metadata.dc.type: Dissertação
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