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Title in Portuguese: Campos conformes e métricas críticas em variedades compactas com bordo.
Title: Conforming and critical metrics fields in compact varieties with on board.
Author: Viana, Emanuel Mendonça
Advisor(s): Barros, Abdênago Alves de
Keywords: Campos vetoriais conforme gradiente
Hemisfério da esfera euclidiana
Variedades com bordo
Métricas críticas
Funcional volume
Funcional de Einstein-Hilbert
Tensor de Weyl
Conformal gradient vector fields
Hemisphere of the Euclidean sphere
Manifolds with boundary
Critical metrics
Volume functional
Einstein-Hilbert functional
Weyl tensor
Issue Date: 27-Jun-2019
Citation: VIANA, Emanuel Mendonça. Campos conformes e métricas críticas em variedades compactas com bordo. 2019. 69 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2019.
Abstract in Portuguese: Esse trabalho está dividido em duas partes e tem como objetivo estudar campos conformes e métricas críticas em variedades compactas com bordo. A primeira dessas partes está relacionada a variedades riemannianas compactas (M n , g) com bordo suave sob a existência de campo vetorial não trivial conforme gradiente. Com controles apropriados na curvatura de Ricci, mostramos que M é isométrica a um hemisfério da esfera, onde usamos os resultados de rigidez de Reilly (1977 e 1980). Em seguida, considerando o caso em que a variedade é Einstein com a existência de um campo vetorial não nulo conforme gradiente, provamos que sua curvatura escalar é positiva e ela deve ser isométrica a um hemisfério da esfera. Finalmente, encerramos tal parte, mostrando que uma limitação na energia de um campo vetorial conforme implica que tal variedade é isométrica ao hemisfério da esfera. Na segunda parte, estudamos variedades compactas (M n , g) que admitem uma solução não constante para o sistema de equações −(Δf)g+∇ 2 f −f Ric = µRic+λ g, onde Ric é o tensor de Ricci, enquanto que µ, λ são parêmetros reais. Mais precisamente, sob a hipótese que (M n , g) tenha curvatura de Weyl radial nula, que significa W(. , . , . , ∇f) = 0, onde W é o tensor de Weyl, forneceremos a classificação completa para as seguintes estruturas: triplas estáticas positivas, métricas críticas do funcional volume e métricas críticas do funcional curvatura escalar total.
Abstract: This work is divided into two parts and it aims to study conformal vector fields and critical metrics on compact manifold with smooth boundary. The first of these parts is related to compact Riemannian manifold (M n , g) with smooth boundary under the existence of nontrivial conformal gradient vector field. With appropriate controls on the Ricci’s curvature, we show that M is isometric to a hemisphere of the sphere, where we use the stiffness results of Reilly (1977 e 1980). Next, considering the case in which the manifold is Einstein with the existence of nonzero conformal gradient vector field, we prove that its scalar curvature is positive and it must be isometric to a hemisphere of Sn . Finally, we conclude that part by showing that a suitable control on the energy of a conformal vector field implies that M is isometric to a hemisphere S+n. In the second part, we study compact Riemannian manifolds (M n , g) that admit a non-constant solution to the system of equations −Δf g + Hessf − fRic = µRic + λg, where Ric is the Ricci tensor of g where as µ and λ are two real parameters. More precisely, under assumption that (M n , g) has zero radial Weyl curvature, this means that the interior product of ∇f with the Weyl tensor W is zero, we shall provide the complete classification for the following structures: positive static triples, critical metrics of volume functional and critical metrics of the total scalar curvature functional.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/43404
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