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Title in Portuguese: Introdução às funções harmônicas
Title: Introduction to harmonic functions
Author: Saboya, Pedro Medeiros
Advisor(s): Ricarte, Gleydson Chaves
Keywords: Função harmônica
Problema de Dirichlet
Função de Green
Propriedade do valor médio
Desigualdade de Hamack
Issue Date: 2019
Citation: SABOYA, Pedro Medeiros. Introdução às funções harmônicas. 2019. 65 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática). Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2019.
Abstract in Portuguese: As funções harmônicas são objetos de estudo primordiais para a matemática moderna, em particular na área da análise e de EDP, mas também em outras áreas do conhecimento, como na física, no estudo de fluxos e na teoria do potencial. Visando o aprofundamento em relação a tal classe de funções são demonstradas equivalências em relação à definição de tais funções, introduzindo assim conceitos como "função fracamente harmônica"e "propriedade do valor médio". Além disso, obtêm-se resultados acerca da regularidade de tais funções, provando que elas são na realidade "suaves"e, ainda mais, "analíticas". Em meio as demonstrações obtêm-se estimativas em relação a tais funções e suas derivadas, propriedades relacionadas ao máximo e mínimo delas (princípio do máximo), além de resultados como a "Desigualdade de Harnack". Em seguida analisa-se um tipo especial de função harmônica, a solução fundamental do Laplaciano. A partir dela obtêm-se a fórmula de representação de Green, a função de Green e, por fim, a solução do Problema de Dirichlet para bolas. Em meio as demonstrações utilizam-se resultados prévios como o "Teorema da Divergência", o Teorema da Convergência Dominada, o Teorema de Weierstrass, o Teorema de Clairaut-Schwarz e o Teorema do Valor Médio sem, contudo, demonstrá-los.
Abstract: Harmonic functions are primordial objects of study for modern mathematics, particularly in the area of analysis and EDP, but also in other areas of knowledge, such as physics. Aiming at the deepening of such a class of functions, equivalences are demonstrated in relation to the definition of such functions, thus introducing concepts such as "weakly harmonic function"and "mean-value property". In addition, results are obtained about the regularity of such functions, proving that they are in fact "soft"and, still more, "analytical". In the middle of the demonstrations we obtain estimates in relation to such functions and their derivatives, properties related to their maximum and minimum (maximum principle), as well as results such as "Harnack’s inequality". Then a special kind of harmonic function, the fundamental solution of Laplace’s equation, is analyzed. From it we obtain the representation formula using Green’s function, Green’s function and, finally, the solution of the Problem of Dirichlet for balls. In the middle of the demonstrations we use previous results such as the "Divergence Theorem", Dominated Convergence Theorem, Weierstrass Theorem, Clairaut-Schwarz Theorem, and Mean Value Theorem without, however, demonstrating them.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/44165
metadata.dc.type: TCC
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