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Title in Portuguese: Corpos finitos e dois problemas olímpicos
Title: Finite bodies and two olympic problems
Author: Nascimento, Antônio Mário Alves do
Advisor(s): Medeiros Filho, Esdras Soares de
Keywords: Grupos
Anéis
Anéis Polinomiais
Corpos Finitos
Finite Bodies
Polynomial Rings
Rings
Groups
Issue Date: 2019
Citation: NASCIMENTO, Antônio Mário Alves do. Corpos finitos e dois problemas olímpicos. 2019. 72 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2019. 
Abstract in Portuguese: Nesta dissertação apresentamos um estudo sobre álgebra abstrata, mais precisamente sobre corpos finitos. O objetivo deste trabalho é apresentar a solução dos problemas ”Seja a inteiro positivo e p um divisor primo de a3− 3a + 1 com p diferente de 3. Prove que p é da forma 9k +1 ou 9k−1, sendo k inteiro.” Proposto no OBM em 2017 nível 3 e ”Demonstrar que, para cada número inteiro a > 1, os divisores primos do número 5a4− 5a2 + 1 são da forma 20k ± 1, k ∈ Z.” Proposto na 13a Olimpíada de Matemática Ibero-Americana. Nesse sentido, começamos com a introdução da teoria de grupos e apresentamos conceitos básicos e teoremas importantes como o teorema de Lagrange. Em seguida, introduzimos a teoria dos anéis, apresentamos definições importantes como anel quociente e destacamos o anel polinomial. Mais adiante, começamos o estudo de corpos. Estudaremos a construção de corpo a partir de um polinômio irredutível, extensão de corpo, corpo de decomposição e caracterização de corpos finitos. Finalmente, fornecemos as soluções dos problemas mencionados acima.
Abstract: In this dissertation we present a study about abstract algebra, more precisely about finite bodies. The objective of this paper is to present the solution of the problems ”Let the positive integer and p be a prime divisor of a3− 3a + 1 with p other than 3. Prove that p is of the form 9k +1 or 9k − 1, being k integer.” Proposed in OBM 2017 Level 3 e ”Demonstrate that for each integer a> 1, the prime dividers of the number 5a4− 5a2 + 1 are of the form 20k ± 1, k ∈ Z.” Proposed at the 13th Ibero-Mathematical Olympiad American. In this sense, we begin with the introduction of group theory and present basic concepts and important theorems such as Lagrange's theorem. We then introduce the ring theory, present important definitions as quotient ring, and highlight the polynomial ring. Later we began the study of bodies. We will study body construction from an irreducible polynomial, body extension, decomposition body, and characterization of finite bodies. Finally, we provide solutions to the problems mentioned above.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/48962
metadata.dc.type: Dissertação
Appears in Collections:PROFMAT - Dissertações defendidas na UFC

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