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Title in Portuguese: O anel dos inteiros algébricos de um corpo de números é um domínio de Dedekind.
Title: The ring of algebraic integers in a body of numbers is a domain of Dedekind.
Author: Gonçalves, Josafá Martins
Advisor(s): Muniz Neto, Antonio Caminha
Keywords: Anel de Dedekind
Inteiros algébricos
Corpos de números
Corpos ciclotômicos
Dedekind rings
Algebraic integers
Number fields
Cyclotomic fields
Issue Date: 30-Mar-2020
Citation: GONÇALVES, Josafá Martins. O anel dos inteiros algébricos de um corpo de números é um domínio de Dedekind. 2020. 73 f. Dissertação (Mestrado Acadêmico em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2020.
Abstract in Portuguese: Do ponto de vista da Teoria Algébrica dos Números, um problema historicamente importante foi o de entender em detalhe as propriedades do anel dos inteiros algébricos de um corpo de números. Neste trabalho, que pode ser visto como uma introdução autocontida à Teoria Algébrica dos Números, demonstraremos que, se A for um domínio de Dedekind com corpo quociente K, se L for uma extensão separável e finita de K e B for o fecho inteiro de A em L, então B também será um domínio de Dedekind. Como consequência desse fato, concluímos que o anel dos inteiros algébricos de um corpo de números é um Domínio de Dedekind, o que, por sua vez, expõe a ubiquidade dos domínios de Dedekind. Concluímos o texto caracterizando o anel dos inteiros algébricos do n-ésimo corpo ciclotômico como o domínio de Dedekind dado pela adjunção de anéis das raízes complexas n-ésimas da unidade ao anel Z dos inteiros.
Abstract: From the point of view of Algebraic Number Theory, a historically important problem was the one of understanding in detail the properties of the ring of algebraic integers of a number field. In this sense, in this work we show that, if A is a Dedekind domain with field of fractions K, if L is a finite separable extension of K and B is the algebraic closure of A in L, then B is also a Dedekind domain. As a consequence of this fact, we conclude that the ring of algebraic integers of a number field is a Dedekind domain, which, in turn, exposes the ubiquity of Dedekind domains. We close the text by characterizing the ring of algebraic integers of the n-th cyclotomic field as the Dedekind domain given by the ring adjunction of the n-th complex roots of unity to the ring Z of integers.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/53510
metadata.dc.type: Dissertação
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