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Title in Portuguese: Variedades quasi-Einstein compactas com bordo
Title: Quasi-Einstein compact varieties with boundary
Author: Sousa, Tiago Gadelha de
Advisor(s): Ribeiro Júnior, Ernani de Sousa
Keywords: Variedades quasi-Einstein
Estimativas de bordo
Variedades Einstein
Produto warped
Quasi-Einstein varieties
Einstein varieties
Boundary estimates
Warped product
Issue Date: 4-Jun-2021
Citation: SOUSA, Tiago Gadelha. Variedades quasi-Einstein compactas com bordo. 2021. 63 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2021.
Abstract in Portuguese: O objetivo deste trabalho é estudar variedades quasi-Einstein compactas com bordo. Na primeira parte, forneceremos estimativas de bordo e resultados de obstrução geométrica. Estabelecemos uma estimativa superior sharp para a área do bordo de uma variedade quasi-Einstein compacta com bordo conexo assumindo uma limitação inferior da curvatura de Ricci do bordo. Com igualdade valendo se, e somente se, o bordo da variedade for isométrico a uma esfera. O resultado ainda é válido no caso tridimensional sem a condição de limitação da curvatura de Ricci do bordo. Considerando uma variedade quasi-Einstein compacta com bordo (possivelmente desconexo) e curvatura escalar constante, conseguimos também obter um resultado de caracterização em termos da gravidade da superfície das componentes do bordo. Para o caso em que o bordo é conexo, decorre desse resultado uma desigualdade geométrica sharp envolvendo a área do bordo e o volume de tais variedades, que também pode ser visto como um resultado de obstrução. Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, a variedade for isométrica, a menos de scaling, ao hemisfério. Finalizamos a primeira parte deste trabalho apresentando uma estimativa de bordo superior para variedades quasi-Einstein compactas com bordo (possivelmente desconexo) em termos da massa de Brown-York. Na segunda parte deste trabalho, fornecemos uma fórmula tipo Böchner para variedades quasi-Einstein de dimensão maior ou igual a 3 a qual nos permite obter resultados de rigidez assumindo uma condição pinçada envolvendo o tensor de Ricci sem traço. Além disso, considerando o invariante de Yamabe (ou a constante de Yamabe), que é uma importante ferramenta em problemas de métricas prescritas, obtemos uma estimativa de curvatura integral em termos da constante de Yamabe para variedades quasi-Einstein compactas de dimensão 4 com bordo e curvatura escalar constante.
Abstract: The objective of this work is to study compact quasi-Einstein manifolds with edge. In the first part, we will provide edge estimates and geometric obstruction results. We establish a sharp upper estimate for the edge area of ​​a compact quasi-Einstein manifold with a connected edge assuming a lower bound of the Ricci curvature of the edge. With equality being valid if, and only if, the boundary of the manifold is isometric to a sphere. The result is still valid in the three-dimensional case without the condition of limiting the Ricci curvature of the border. Considering a compact quasi-Einstein manifold with (possibly disconnected) edge and constant scalar curvature, we were also able to obtain a characterization result in terms of surface gravity of the edge components. For the case where the edge is connected, a sharp geometric inequality ensues from this result involving the edge area and the volume of such manifolds, which can also be seen as a result of obstruction. Furthermore, equality occurs if, and only if, the manifold is isometric, unless scaling, to the hemisphere. We conclude the first part of this work by presenting an upper edge estimate for compact quasi-Einstein manifolds with a (possibly disconnected) edge in terms of the Brown-York mass. In the second part of this work, we provide a Böchner-type formula for quasi-Einstein manifolds with a dimension greater than or equal to 3 which allows us to obtain stiffness results assuming a pinched condition involving the traceless Ricci tensor. Furthermore, considering the Yamabe invariant (or the Yamabe constant), which is an important tool in prescribed metric problems, we obtain an integral curvature estimate in terms of the Yamabe constant for 4-dimensional compact quasi-Einstein manifolds with boundary and constant scalar curvature.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/59794
metadata.dc.type: Tese
Appears in Collections:DMAT - Teses defendidas na UFC

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