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Título: Uma demonstração do teorema de Grayson sobre evolução de curvas planas pela curvatura
Título em inglês: A proof of Grayson's theorem about evolution of planes curves by curvature
Autor(es): Cruz, Cicero Tiarlos Nogueira
Orientador(es): Lima, Levi Lopes de
Palavras-chave: Desigualdades isoperimétricas
Curvas planas
Curvatura
Geometria diferencial
Data do documento: 2011
Citação: CRUZ, Cicero Tiarlos Nogueira (2011)
Resumo: Baseados no recente trabalho de Andrews e Bryan [2], apresentamos uma nova demonstração do famoso teorema de Grayson [4], que descreve o comportamento assimptótico de curvas planas fechadas e simples evoluindo pelo fluxo da curvatura. A demonstração representa uma simplificação notável em relação aos métodos anteriores e consiste em normalizar o fluxo de forma a preservar o comprimento (igual a 2pi). Feito isto, estabelece-se uma desigualdade isoperimétrica que controla inferiormente o comprimento de cordas em termos do comprimento dos arcos correspondentes e do tempo decorrido. Essa estimativa é precisa o suficiente para permitir controlar uniformemente a curvatura ao longo do tempo, o que implica, sem muitas dificuldades, que a curvatura do fluxo normalizado converge uniformemente na topologia C∞ para a função identicamente igual a 1.
Abstract: Based on the recent work by Andrews and Bryan [2] we present a new proof of the celebrated Grayson's theorem [4], which describes the asymptotic behavior of simple curves evolving by the curve shortening flow. The proof represents a remarkable simplification over the previous methods and consist of normalizing the flow in order to preserve the length (equal to 2 ). It is then established an isoperimetric inequality which provides a lower bound for the length of chords in terms of the corresponding arcs and elapsed time. This estimate is suficiently strong to uniformly control the curvature in time, implying, without many difficulties, that the curvature of the normalized flow converges in the C∞ topology to the function identically equal to 1.
Descrição: CRUZ, Cicero Tiarlos Nogueira; LIMA, Levi Lopes de. Uma demonstração do teorema de Grayson sobre evolução de curvas planas pela curvatura. 2011. 42f. Dissertação (mestrado)-Universidade Federal do Ceará, Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza-CE, 2011.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/851
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