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Título: Teoria de regularidade para equações elípticas totalmente não lineares com potenciais singulares e problemas de fronteira livre assintóticos
Título em inglês: Fully nonlinear singularly perturbed elliptic equations and limiting free boundary problems
Autor(es): Ricarte, Gleydson Chaves
Orientador(es): Teixeira, Eduardo Vasconcelos Oliveira
Palavras-chave: Equações diferenciais
Geometria
Análise matemática
Data do documento: 2010
Citação: RICARTE, G. C. (2010)
Resumo: Nosso trabalho tem como objetivo desenvolver uma nova técnica para problema de fronteira livre para equações totalmente não-lineares F(D2uε;Duε; x) = βε(uε) (0.0.1) obtida quando ε → 0, onde βε → δoβ,δo função Delta Dirac. Sobre o problema (0.0.1), inicialmente utilizamos o método da menor supersolução para construir soluções adequadas para obtenção de algumas propriedades geométricas, uniformes em ε, das superfícies de nível. Isto permite provar que a fronteira livre tem a geometria fraca (no sentido da teoria geométrica da medida) adequada para nossos objetivos. Dentre elas, citamos a estimativa uniforme e ótima do gradiente das soluções de (0.0.1) e não-degenerescência. Para problema governado por operadores côncavos, estabelecemos importantes propriedades geométricas fracas, uniforme em ε, das superfícies de nível aproximadas. Estudamos também uma análise aprofundada do problema de fronteira livre limite quando ε → 0. Provamos que a função limite u0 = limε→0 uε é solução de F(D2u(x);Du(x); u(x); x) = 0 no conjunto de positividade Ω0 := {fu0 > 0g} e que u0 satisfaz as condições geométricas adequadas. Neste caso, a função u0 é forte candidata para a solução do nosso problema de fronteira livre. Finalmente, provaremos que a condição de fronteira livre vale no sentido da viscosidade de Caffarelli, o qual envolve uma hipótese natural de homogeneização do operador totalmente não-linear F. Em particular, para operadores invariantes por rotações, F(D2u), vamos mostrar que a derivada normal da função limite u0 é constante ao longo da fronteira livre. Provamos que, para operadores com coeficientes constantes, a fronteira livre é de classe C1.
Abstract: In this work we develop a fully nonlinear theory for singularly perturbed elliptic equations problems with high energy activation. We esta-blish uniform and optimal gradient estimates of solutions and prove that minimal solutions are non-degenerated. For problems governed by concave equations, we establish uniform weak geometric properties of approximating level surfaces. We also provide a thorough analysis of the free boundary problem obtained as a limit as the parameter term goes to zero. We find the precise jumping condition of limiting solutions through the phase transi-tion, which involves a subtle homogenization process of the governing fully nonlinear operator. In particular, for rotational invariant operators, $F(D^2u)$, we show the normal derivative of limiting function is constant along the interface. Smoothness properties of the free boundary are also addressed.
Descrição: RICARTE, Gleydson Chaves; TEIXEIRA, Eduardo Vasconcelos Oliveira. Teoria de regularidade para equações elípticas totalmente não lineares com potenciais singulares e problemas de fronteira livre assintóticos. 2010. 145 f. : Tese (doutorado) - Universidade Federal do Ceará, Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza-CE, 2010.
URI: http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/968
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